已知中心在原点的双曲线的一条渐近线方程是y＝−3/2x，焦距为213，求此双曲线的标准方程．

题目

已知中心在原点的双曲线的一条渐近线方程是y＝−

3

2

x，焦距为2

13

，求此双曲线的标准方程．

答案

∵双曲线的渐近线方程为y=-

3

2

x，由题意可设双曲线方程为

x2

4

-

y2

9

=λ(λ≠0)
当λ>0时，

x2

4λ

-

y2

9λ

=1，焦点在x轴上，
∴

4λ+9λ

=

13

，
∴λ=1，
∴双曲线方程为

x2

4

-

y2

9

=1
当λ<0时，方程为

y2

-9λ

-

x2

-4λ

=1，
∴

-4λ-9λ

=

13

，
∴λ=-1
∴方程为

y2

9

-

x2

4

=1
综上所述，双曲线方程为

x2

4

-

y2

9

=1或

y2

9

-

x2

4

=1．

由双曲线的渐近线方程为y＝−

3

2

x，可设双曲线方程为

x2

4

−

y2

9

＝λ(λ≠0)，当λ＞0时，

x2

4λ

−

y2

9λ

＝1，焦点在x轴上，当λ＜0时，方程为

y2

−9λ

−

x2

−4λ

＝1，利用已知焦距为2

13

，可求λ，进而可求双曲线的方程．

本题考点：双曲线的简单性质．

考点点评：本题主要考查了利用双曲线的性质求解双曲线的方程，解题的关键是根据双曲线的渐近线方程设双曲线方程，属于基础题．