已知函数f(x)=a的x次方/(a的x次方+根号a)(a>0且a≠1)
题目
已知函数f(x)=a的x次方/(a的x次方+根号a)(a>0且a≠1)
1.求证函数f(x)的图像关于点p(0.5,0.5)对称
2.试求f(1/10)+f(2/10)+f(3/10)+...+f(9/10)的值
要过程.谢谢啦
答案
f(x)=a^x/(a^x+√a);
关于点p(0.5,0.5),设点X1(x,y)和X2(x0,y0),X1在f(x)上,X2是点X1关于P点的对称点,假如x2点满足f(x),则f(x)肯定关于P点对称;利用中点坐标公式,x0=2·0.5-x,y0=2·0.5-y;
代入f(x0)=a^(1-x)/〔a^(1-x)-√a〕;
若f(x0)=y0,则点X2(x0,y0)在函数f(x)上;
y0=1-y=1-a^x/(a^x+√a)=√a/(a^x+√a);
f(x0)=a/(a-√a·a^x)=√a/(a^x+√a);
f(x0)=y0成立,则X2(x0,y0)在f(x)上,所以函数关于p(0.5,0.5)对称;
2,我们由中点公式y0=2·0.5-y,可以写成f(x0)+F(x)=1;
(x,y)(x0,y0)是对称的两点.
点(1/10,f(1/10))关于p(0.5,0.5)的对称点为(9/10,f(9/10)),这个很容易得到的,点(x,y)关于点(a,b)的对称点是(2a-x,2a-y),可以由前面的中点坐标推导出;
同样,2/10→8/10 3/10→7/10 4/10 →6/10;
f(1/10)+f(9/10)=2b=1;所以有四个1;
还有个f(5/10)即f(0.5)
因为F(x)定义域为R,故函数过对称点p(0.5,0.5),即f(5/10)=0.5;
所以f(1/10)+f(2/10)+f(3/10)+...+f(9/10)=4.5
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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