已知过点A（0，1），B（4，a）且与x轴相切的圆只有一个，求a的值及所对应的圆的方程．

题目

已知过点A（0，1），B（4，a）且与x轴相切的圆只有一个，求a的值及所对应的圆的方程．

答案

分两种情况考虑：
（i）设圆心坐标为（x，y），当B点为切点时，B在x轴上，所以a=0．则B（4，0），所以AB的中点坐标为（2，

1

2

），直线AB的斜率为

1−0

0−4

=-

1

4

，则AB中垂线的斜率为4，所以AB中垂线的方程为y-

1

2

=4（x-2）与x=4联立解得x=4，y=

17

2

，所以圆的方程为：（x-4）²+(y−

17

2

)2=(

17

2

)2；
（ii）当a=1时，AB与x轴平行，则AB的中垂线方程为x=2，设圆心坐标为（2，y），根据勾股定理得：y²=2²+（y-1）²，解得y=

5

2

，所以圆的方程为：（x-2）²+(y−

5

2

)2=(

5

2

)2．
综上：当a=0时，相对应的圆的方程为：（x-4）²+(y−

17

2

)2=(

17

2

)2；当a=1时，相对应的圆的方程为：（x-2）²+(y−

5

2

)2=(

5

2

)2．