若对于定义在R上的连续函数f(x),存在常数a(a∈R),使得f(x+a)+af(x)=0对任意的实数

题目

若对于定义在R上的连续函数f(x),存在常数a(a∈R),使得f(x+a)+af(x)=0对任意的实数
x成立,则称f（x）是回旋函数,且阶数为a．
（Ⅲ）若对任意一个阶数为a的回旋函数f（x）,方程f（x）=0均有实数根,求a的取值范围．
（Ⅲ）如果a=0,显然f（x）=0,则显然有实根．
下面考虑a≠0的情况．
若存在实根x0,则f（x0+a）+af（x0）=0,即f（x0+a）=0说明实根如果存在,那么加a也是实根．因此在区间（0,a）上必有一个实根．则：f（0）f（a）＜0
由于f（0+a）+af（0）=0,则f（0）=-f(a)/ a ,只要a＞0,即可保证f（0）和f（a）异号．
综上a≥0
我就想知道为什么证明出“实根如果存在,那么加a也是实根”之后能得出在区间（0,a）上必有一个实根的结论?

答案

我是这样理解的,看你能否接受.
因为若f（x0）,则f(x0+a)=0也成立,即“实根如果存在,那么加a也是实根” ,即
f（x0）=0成立,f（x0+Ka）=0也成立（K为正的整数或负的整数或0）,也就是x0+ka为实根
x0可为正的或负的.
但不管其为正或为负,对给定的常数a来说
一定可以找到适当大的K,使得xo+ka落在（0,a）这个区间,
也就可以得到“在区间（0,a）上必有一个实根”的结论
注：这是我的理解,可能要得出那个结论没那么复杂,但至少我觉得这样理解是对的,希望会对你有所帮助.