已知P,Q,M,N四点都在中心为坐标原点,离心率为根号2/2,左焦点为F（-1,0）的椭圆C上,

题目

已知P,Q,M,N四点都在中心为坐标原点,离心率为根号2/2,左焦点为F（-1,0）的椭圆C上,
已知向量PF与向量PQ共线,向量PF*向量MF=0
（1）求椭圆C的方程
（2）试用直线PQ的斜率K(K不等于0）表示四边形PMQN的面积S,求S的最小值

答案

(1)c=1 由c/a=√2/2得a=√2 b^2=a^2-c^2=1
椭圆方程为x^2/2+y^2=1
(2)向量PF与向量PQ共线,向量PF*向量MF=0
则P、Q、F在同一直线上,PF⊥MF
设过F的直线方程PQ为y=kx+k 则MN为y=-x/k-1/k P(x1,y1) Q(x2,y2) M(x3,y3) N(x4,y4)
联立PQ和椭圆方程得(2k^2+1)x^2+4k^2x+2k^2-2=0 则 x1+x2=-b/a=-4k^2/(2k^2+1)
联立MN和椭圆方程得(k^2+2)x^2+4x+2-2k^2=0 则x3+x4=-b/a=-4/(k^2+2)
椭圆上的点到左焦点的距离=(c/a)d=√2/2,其中d为该点到左准线的距离即x=-a^2/c=-2
PQ=(√2/2)*(x1+2+x2+2)=2√2(k^2+1)/(2k^2+1)
MN=(√2/2)*(x3+2+x4+2)=2√2(k^2+1)/(k^2+2)
S=PQ*MN/2=4(k^2+1)^2/[(2k^2+1)(k^2+2)]=4/9[(2k^2+1)/(k^2+2)+(k^2+2)/(2k^2+1)+2]
≥4/9(2+2)=16/9当且仅当2k^2+1=k^2+2即k^2=1时取等号
【利用了3(k^2+1)=(2k^2+1)+(k^2+2)】
S最小值为16/9