设常数a>0,(ax-1/x)5展开式中x3的系数为-5/81,则a= _ ,limn→∞(a+a2+…+an)= _ .
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设常数a>0,(ax-1/x)5展开式中x3的系数为-5/81,则a= _ ,limn→∞(a+a2+…+an)= _ .
题目
设常数a>0,
(ax-
1
x
)
答案
(1)由Tr+1=c
5
r
(ax)
5-r
(-
1
x
)
r
,整理得Tr+1=(-1)
r
c
5
r
a
5-r
x
5-2r
,
r=1时,即(-1)c
5
1
a
4
=-
5
81
,∴a=
1
3
.故答案为
1
3
(2)方法1:令s
n
=a+a
2
+…+a
n
=
a×(1-
a
n
)
1-a
,
∴
lim
n→∞
(a+a
2
+…+a
n
)=
lim
n→∞
a×(1-
a
n
)
1-a
=
a
1-a
(∵a<1时,
lim
n→∞
a
n
=0)
=
1
3
1-
1
3
=
1
2
.
故答案为
1
2
.
方法2:由a=
1
3
,可知数列a,a
2
…a
n
是递降等比数列,
则
lim
n→∞
(a+a
2
+…+a
n
)表示无穷递降等比数列的各项和,
由无穷递降等比数列的各项和公式(
lim
n→∞
s
n=
a
1
1-q
)
,
可知
lim
n→∞
(a+a
2
+…+a
n
)=
a
1-a
═
1
3
1-
1
3
=
1
2
.
故答案为
1
2
.
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