已知abc均为正数,求证a2+b2+c2+(1/a+1/b+1/c)2>=6根号3

题目

已知abc均为正数,求证a2+b2+c2+(1/a+1/b+1/c)2>=6根号3
RT,如何证明

答案

用幂平均不等式：((a^2+b^2+c^2)/3)^(1/2)≥((1/a+1/b+1/c)/3)^(-1);
整理一下：a^2+b^2+c^2≥3*((1/a+1/b+1/c)/3)^(-2)=27*（1/a+1/b+1/c)^（-2）
令（1/a+1/b+1/c)^2=t;
则原式≥27/t+t≥2*√(27/t)*t=2*√27=6√3; 等号成立当且仅当t=3√3,a=b=c,即a=b=c=3^(1/4)时.