已知函数f(x)=(ax2+bx+c)ex(a>0)的导函数y=f′(x)的两个零点为-3和0. (Ⅰ)求f(x)的单调区间; (Ⅱ)若f(x)的极小值为-1,求f(x)的极大值.
题目
已知函数f(x)=(ax2+bx+c)ex(a>0)的导函数y=f′(x)的两个零点为-3和0.
(Ⅰ)求f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若f(x)的极小值为-1,求f(x)的极大值.
答案
(Ⅰ)f'(x)=(2ax+b)ex+(ax2+bx+c)ex=[ax2+(2a+b)x+b+c]ex.令g(x)=ax2+(2a+b)x+b+c,∵ex>0,∴y=f'(x)的零点就是g(x)=ax2+(2a+b)x+b+c的零点,且f'(x)与g(x)符号相同.又∵a>0,∴当x<-3...
(Ⅰ)f'(x)=[ax2+(2a+b)x+b+c]ex.令g(x)=ax2+(2a+b)x+b+c,简化运算;
(Ⅱ)由f(x)的极小值为-1确定参数值,通过导数求极大值.
利用导数研究函数的极值;导数的运算;利用导数研究函数的单调性.
本题考查了导数的综合应用,属于中档题.
举一反三
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