设a,b分别是m*n,n*s矩阵且b为行满值矩阵,证明:r(ab)=r(a)的详细解题

题目

设a,b分别是m*n,n*s矩阵且b为行满值矩阵,证明:r(ab)=r(a)的详细解题

答案

证明:首先有 r(AB) ≤ min(r(A),r(B)) ≤ r(A).
再由B为行满秩,r(B) = n
所以B可经过初等行变换化为 (En,B1).
所以存在可逆矩阵P使 PB = (En,B1),且有 r(AP^(-1))=r(A)
故有 r(AB) = r((AP^(-1))(PB)) = r((AP^(-1))(En,B1))
= r(AP^(-1),AP^(-1)B1)≥r(AP^(-1)) = r(A).
综上有 r(AB) = r(A) #
此题用到分块矩阵的方法以及多个知识点,需耐心领会!