数集M满足条件,若a∈M,则1+a/1-a∈M（a≠±1且a≠0.已知3∈M,请把由此确定的集合M的元素全部求出来

题目

数集M满足条件,若a∈M,则1+a/1-a∈M（a≠±1且a≠0.已知3∈M,请把由此确定的集合M的元素全部求出来
这个问题的解答是这样的
令a=3
那么,a∈M
因为,（1+a）/（1-a）∈M
所以,（1+3）/（1-3）= -2 ∈M
所以,[1+（-2）]/[[1-（-2）] = -1/3 也是∈M
所以,[1+（-1/3）]/[1-（-1/3）]=1/2 ∈M
所以,（1+ 1/2）/（1-1/2）=3
开始重复了,所以 M={3,-2,-1/3,1/2}
如果这个解答对的,请问为什么要令a＝3,有什么理由吗?

答案

因为已知3∈M
所以a=3是一种情况
当a=3时,1+a/1-a=-2
此时M的集合为{3、-2}
第二种情况,a=-2时
1+a/1-a=-1/3
此时M集合为{3,-2,-1/3}
第三种情况,a=-1/3时
1+a/1-a=1/2
M的集合为{3、-2、1/2、-1/3}
第三种情况,a=1+a/1-a时
a^2+1=0
a无解
M为空集
综上所述M集合为{3,-2,-1/3,1/2、空集}