已知二次函数f(x)=ax^2+bx满足f(1+x)=f(1-x)且方程f(x)=x有两个相等实数,若函数f(x)在定义域为[m,n]上

题目

已知二次函数f(x)=ax^2+bx满足f(1+x)=f(1-x)且方程f(x)=x有两个相等实数,若函数f(x)在定义域为[m,n]上
对应的值域为[2m,2n],求m,n的值

答案

f(x)=ax^2+bx=a(x+b/2a)^2-b^2/4a,则b/2a=-1,b=-2a；
f(x)=x=ax^2+bx,ax^2+bx-x=（ax+b-1)x=0,x=0或x=（1-b）/a两根相等,a≠0,故1-b=0,b=1；
所以,a=-1/2,f(x)=-x^2/2+x=-（x-1）^2/2+1/2；
当m>1时,f(x)为递减函数,则有f(n)=2m,f(m)=2n,代入得：
-n^2/2+n=2m,-m^2/2+m=2n,两式相加：-(m^2+n^2)/2=m+n,不成立；
当n1,m