已知等比数列{an}的首项a1=2,公比q=3,Sn是它的前n项和.求证:Sn+1Sn≤3n+1/n.

已知等比数列{an}的首项a1=2,公比q=3,Sn是它的前n项和.求证:Sn+1Sn≤3n+1/n.

题目
已知等比数列{an}的首项a1=2,公比q=3,Sn是它的前n项和.求证:
S
答案
证明:由已知,得Sn=3n-1
要证明
Sn+1
Sn
3n+1
n
等价于
3n+1−1
3n−1
3n+1
n
即3n≥2n+1(*)
(方法一)用数学归纳法证明
①当n=1时,左边=3,右边=3,所以(*)式成立
②假设当n=k时(*)成立,即3k≥2k+1
那么当n=k+1时,3k+1=3×3k≥3(2k+1)=6k+3≥2k+3=2(k+1)+1
所以当n=k+1时(*)也成立
综合①②可得,3n≥2n+1
Sn+1
Sn
3n+1
n

(法二)当n=1时,左边=4,右边=4,所以(*)成立
当n≥2时,3n=(1+2)n=Cn0+2Cn1+22Cn2+…+2nCnn=1+2n+…>1+2n
所以
Sn+1
Sn
3n+1
n
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
1,人们染上烟瘾,最终因吸烟使自己丧命.
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