Sn为数列{an}的前n项和,且Sn=A qⁿ+B (q≠0) 证明该数列为等比数列

题目

Sn为数列{an}的前n项和,且Sn=A qⁿ+B (q≠0) 证明该数列为等比数列
Sn为数列{an}的前n项和,且Sn=A qⁿ+B (q≠0) 证明该数列为等比数列
an=A(q-1)qⁿ﹣¹(n≥2) a1=S1=Aq+B 则 B=-A 为什么B=-A 不等于不行吗?an=A(q-1)qⁿ﹣¹(n≥2) 这个是针对n≥2说的啊?

答案

这个问题
Sn=A qⁿ+B (q≠0) 证明该数列为等比数列,
应该增加条件 A=-B
n≥2时,an=Sn-S(n-1)= A(q-1)qⁿ﹣¹
到现在只能确保 a3/a2=a4/a3=.=q
从第二项起数列是等比数列
∵ a2=A(q-1)q,a1=Aq+B
若为等比数列则还需a2/a1=q
即Aq²-Aq=q²A+qB ∴A=-B
只有A=-B才有
a2/a1=a3/a2=.
即a(n+1)/an=q,｛an}才是等比数列