已知M,N,P,Q分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点,求证MNPQ是平行四边形

题目

已知M,N,P,Q分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点,求证MNPQ是平行四边形

答案

证明：(1) ∵M、N是AB、BC的中点,∴MN‖AC,MN＝ AC．
∵P、Q是CD、DA的中点,∴PQ‖CA,PQ＝ CA．
∴MN‖QP,MN＝QP,MNPQ是平行四边形．
∴□MNPQ的对角线MP、NQ相交且互相平分．
(2)由(1),AC‖MN．记平面MNP(即平面MNPQ)为α．显然ACα．
否则,若ACα,
由A∈α,M∈α,得B∈α；
由A∈α,Q∈α,得D∈α,则A、B、C、D∈α,
与已知四边形ABCD是空间四边形矛盾．
又∵MNα,∴AC‖α,
又AC α,∴AC‖α,即AC‖平面MNP．
同理可证BD‖平面MNP．