求证:函数f(x)=x³-3x在[1,＋∞）上是增函数

题目

求证:函数f(x)=x³-3x在[1,＋∞）上是增函数

答案

设a,b∈[1,+∞）,且a＜b
所以f（a）-f（b）=a^3-3a-b^3+3b
=(a^3-b^3)-3(a-b)
=(a-b)(a^2+ab+b^2)-3(a-b)
=(a-b)(a^2+ab+b^2-3)
因为a,b∈[1,+∞）,且a＜b
所以a-b＜0
a^2+ab+b^2＞3
所以a^2+ab+b^2-3＞0
所以f（a）＜f（b）
所以该函数在区间内是增函数