已知向量a=（1-cosx,2sinx/2),b=(1+cosx,2cosx/2)

题目

已知向量a=（1-cosx,2sinx/2),b=(1+cosx,2cosx/2)
(1)若f(x)=2+sinx-1/4|a-b|^2,求f(x)的表达式
（2）若函数f(x）和函数g(x)的图像关于原点对称,求函数g(x）的解析式
（3）若h(x)=g(x)-yf(x)+1在[-π/2,π/2]上是增函数,求实数y的取值范围

答案

1)a-b=(-2cosx,2sinx/2-2cosx/2)
f(x)=2+sinx-(1/4)[4cos²x+4(sin²x/2+cos²x/2-2sinx/2cosx/2)]
=2+sinx-cos²x-(1-sinx)
=2+sinx-(1-sin²x)-1+sinx
=sin²x+2sinx
2)设g(x)上的点(x,y),则对应f(x)的点为(-x,-y)
∴-y=sin²(-x)+2sin(-x)=sin²x-2sinx
∴y=-sin²x+2sinx
即g(x)=-sin²x+2sinx
下面那个λ就是y
3)h(x)=(-sin²x+2sinx)-λ(sin²x+2sinx)=(-1-λ)sin²x+(2-2λ)sinx
t=sinx在[-π/2,π/2]是单调增,∴h(x)在(-1-λ)t²+(2-2λ)t在[-1,1]上单调增
h(x)是关于t的二次函数,对称轴为t=(2-2λ)/2(1+λ)=(1-λ)/(1+λ)
若-1-λ>0,λ