已知a为常数，若曲线y=ax2+3x-lnx存在与直线x+y-1=0垂直的切线，则实数a的取值范围是（　　） A.[-12，+∞） B.[-12，0） C.[12，+∞） D.[1，+∞）

题目

已知a为常数，若曲线y=ax²+3x-lnx存在与直线x+y-1=0垂直的切线，则实数a的取值范围是（　　）
A. [-

1

2

，+∞）
B. [-

1

2

，0）
C. [

1

2

，+∞）
D. [1，+∞）

答案

令y=f（x）═ax2+3x-lnx由题意，x+y-1=0斜率是-1，则与直线x+y-1=0垂直的切线的斜率是1∴f′（x）=1有解∵函数的定义域为{x|x＞0}∴f′（x）=1有正根∵f（x）=ax2+3x-lnx∴f'（x）=2ax+3-1x=1有正根∴2ax2+2x-1=0有...

根据题意，曲线y=ax²+3x-lnx存在与直线x+y-1=0垂直的切线，转化为f′（x）=1有正根，分离参数，求最值，即可得到结论．

本题考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评：本题考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．