分别求半径为1的圆内接正三角形、正方形的边长、边心距和面积

题目

分别求半径为1的圆内接正三角形、正方形的边长、边心距和面积

答案

取相邻两角,连接圆心,得一等腰三角形.做等腰三角形之高线,等腰三角形之高线、中线、角平分线为同一条,因此高线分割一等腰三角形为相等两直角三角形,而等腰三角形腰长即为半径.则可以勾股弦定理来计算等腰三角形的底边及高线.
底边 = 多边形边长
高线 = 边心距
正三角形：
切为腰角30度之等腰三角形,因此
正三角形边长 = 等腰三角形底边 = 2 * （1 *√3/2) = √3
正三角形边长边心距 = 等腰三角形高线 = (1 * 1/2) = 1/2
正三角形的高 = 等腰三角形高 + 另一个三角形之腰长 = 1 + 1/2 = 3/2
正三角形的面积 = √3 * （3/2） / 2 = 3√3/4
正方形：
切为腰角45度之等腰三角形,因此
正方形边长 = 等腰三角形底边 =2 * （1 *1/√2) = √2
正方形边长边心距高线 = 等腰三角形高线 = (1 * 1/√2) = √2/2
正方形的面积 = 正方形边长 * 正方形边长 = √2 * √2 = 2