求下列积分：（1）∫(cosx)^4 × (sinx)^3 dx （2）∫dx/(1+x^4)

题目

求下列积分：（1）∫(cosx)^4 × (sinx)^3 dx （2）∫dx/(1+x^4)
其中第二题教辅书上的解法是令M=∫dx/(1+x^4) N=∫ (x^2) / (1+x^4) dx.然后分别求出M+N和M-N的值,然后相加得到2M,再除以2得到M.这种解法虽然好也很巧妙,但是想要构造出这样的M和N很难想得到,所以我想问你有没有常规的解法解出第二题.

答案

(1) ∫(cosx)^4*(sinx)^3dx =-∫(cosx)^4*(sinx)^2dcosx =-∫(cosx)^4*[1-(cosx)^2]dcosx =∫(cosx)^6dcosx-∫(cosx)^4dcosx =(1/7)(cosx)^7-(1/5)(cosx)^5+C (2)∫[1/(1+x^4)]dx = 1/2∫[(x^2+1)-(x^2-1)]/(1+x^4)d...