在直角坐标系中,抛物线y=ax平方+bx+c(a不等于0)与x轴交点A(-1,0)、B(3,0)交y轴于点C(0,3),

题目

在直角坐标系中,抛物线y=ax平方+bx+c(a不等于0)与x轴交点A(-1,0)、B(3,0)交y轴于点C(0,3),
（接上）点D为抛物线的顶点.直线y=x-1交抛物线于点M、N两点,过线段MN上一点P作y轴的平行线交抛物线于点Q.
（1）求此抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）问点P在何处时,线段PQ最长,最长为多少?
（3）设E为线段OC上的三等分点,若以E为圆心的圆同时经过P、Q两点,求点P的坐标.

答案

第一问：可以设双根式（x-x1)(x-x2)
设此抛物线的解析式为y=a（x+1)（x-3).
根据题意,得
3=a(0+1)(0-3)
解得a=﹣1.
∴原抛物线的解析式为y=-(x+1)(x-3),
即y=-x²+2x+3.
y=-x²+2x+3
=-(x²-2x)+3
=-（x²-2x+1-1)+3
=-（x-1)²+4
∴顶点D的坐标是（1,4）
答：此抛物线的解析式为y=-x²+2x+3,顶点D的坐标为（1,4）.