设函数f（x）=a-2的x次方+1分之2

题目

设函数f（x）=a-2的x次方+1分之2
求证不论a为何数,f（x）总为增函数

答案

∵f（x）的定义域为R,任设x1＜x2,化简f（x1）-f（x2）到因式乘积的形式,判断符号,得出结论．
（1）∵f（x）的定义域为R,设 x1＜x2,
则 f(x1)-f(x2)=a-22x1+1-a+22x2+1= 2•(2x1-2x2)(1+2x1)(1+2x2),
∵x1＜x2,∴ 2x1-2x2＜0,(1+2x1)(1+2x2)＞0,
∴f（x1）-f（x2）＜0,
即f（x1）＜f（x2）,所以不论a为何实数f（x）总为增函数．