设函数的定义域为(0,+∞）,且对任意的正实数x,y,有f(xy)=f(x)+f(y)恒成立,已知f(2)=1,且当x>1时,f(x)>0

题目

设函数的定义域为(0,+∞）,且对任意的正实数x,y,有f(xy)=f(x)+f(y)恒成立,已知f(2)=1,且当x>1时,f(x)>0
（1）求f(1),f(1/2)的值
(2)证明f(x)在(0,+∞）上单调递增
（3）一个各项均为正数的数列{an},满足f(Sn)=f(an)+f[（an）+1]-1,n∈N+,求{an}通项公式

答案

(1)令x＝y＝1,则可得f(1)＝0再令x＝2,y＝1/2,得f(1)＝f(2)＋f(1/2)＝1＋f(1/2)＝0∴f(1/2)＝－1(2)任取x1,x2∈(0,＋∞),且x1＜x2,则f(x1)＋f(x2/x1)＝f(x2)即f(x2)－f(x1)＝f(x2/x1)∵x2/x1＞1故f(x2/x1)＞0即f(x2)...