用定义证明下列极限:lim x趋向于π/4 sinx=二分之根号二
题目
用定义证明下列极限:lim x趋向于π/4 sinx=二分之根号二
要用什么大N定理,不是你们这样证明的。
答案
求证:lim(x->π/4) sinx = √2/2 = sin(π/4)
证明:
① 对任意 ε>0 ,
∵ √2/2 = sin(π/4) ,|cosx| ≤ 1 ,|sinx|≤|x|
∴要使 | sinx - √2/2| < ε 成立,
即只要满足:|sinx - √2/2| = | sinx - sin(π/4)| = |2cos[(x+π/4)/2]*sin[(x-π/4)/2]|
≤ |2sin[(x-π/4)/2]| ≤|2[(x-π/4)/2]| =|(x-π/4)|< ε 即可.
② 故存在 δ = ε > 0
③ 当 | x-π/4 |< δ =ε 时,
④ 恒有:|sinx - √2/2 | < ε 成立.
∴ lim(x->π/4) sinx = √2/2
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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