有理数一定可以化成无限循环小数,请问哪位高手给证明下,无限循环小数一定是有理数.

题目

有理数一定可以化成无限循环小数,请问哪位高手给证明下,无限循环小数一定是有理数.
请给出严格的证明,
证明如下：将无限循环小数化为a+aq+aq^2+aq^3+aq^4+..+aq^n其中n趋于无穷大。0

答案

设一个循环节有m位,则无限循环小数可表示成
u+a×10^t+b×10^(t+1)+c×10^(t+2)+...+h×10^(t+m-1)+a×10^(t+m)+b×10^(t+m+1)+c×10^(t+m+2)+...+h×10^(t+2m+1)+.
=u+a[10^t+10^(t+m)+...]+b[10^t+10^(t+m)+...]/10+.
=u+[a+b/10+...+h/10^(m-1)][10^t/(1-10^m)]
∴一定是有理数
反过来就是有理数一定可以化成无限循环小数
lim(n→+∞) 0.1^n/0.01^n=lim(n→+∞) (0.1/0.01)^n=lim(n→+∞) 10^n=+∞