已知函数f(x)=x3-3ax-1,a≠0 (1)求f(x)的单调区间; (2)若y=f(x)在x=1在处取得极值,直线y=m与y=f(x)的图象有三个不同的交点,求m的取值范围.
题目
已知函数f(x)=x3-3ax-1,a≠0
(1)求f(x)的单调区间;
(2)若y=f(x)在x=1在处取得极值,直线y=m与y=f(x)的图象有三个不同的交点,求m的取值范围.
答案
【答案】(1)由题知:f'(x)=3x
2-3a=3(x
2-a),
①当a<0时,对∀x∈R,恒有f'(x)>0,
即当a<0时,f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞).
②当a>0时,
解f'(x)>0得,
x>或x<−,
解f'(x)<0得,
−<x<,
即当a>0时,f(x)的单调递减区间为(
−,),
f(x)的单调递增区间为(-∞,
−)和(
,+∞).
(2)∵y=f(x)在 x=1处取得极值,
∴f'(1)=3-3a=0,
则a=1.
即f(x))=x
3-3x-1,f'(x)=3x
2-3;
解f'(x)=0得,x=±1.
由(1)知:f(x)在x=-1处取得极大值f(-1)=1;在x=1处取得极小值f(1)=-3
∵直线y=m与y=f(x)函数的图象有三个不同的交点,
结合f(x)的单调性可得,-3<m<1.
所以m的范围为(-3,1).
(1)利用导数,讨论确定f(x)的单调区间;(2)结合函数图象可知,直线y=m与y=f(x)的图象有三个不同的交点只需使m在两个极值之间.
利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性.
本题考查了利用导数求函数单调性的方法,同时也考查了分类讨论和数形结合的思想.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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