设y=（ax+b）/(cx+d),a、b、c、d都是有理数,x是无理数,求证：（1）当bc=ad时,y是有理数

题目

设y=（ax+b）/(cx+d),a、b、c、d都是有理数,x是无理数,求证：（1）当bc=ad时,y是有理数
（2）当bc≠ad时,y是无理数

答案

当bc = ad, y = (ax+b)/(cx+d) = a/c = b/d (c, d中至少有一个非零, 故a/c与b/d中至少有一个有意义).
当bc ≠ ad, 可解得x = (b-dy)/(cy-a), 若y是有理数, 可得x是有理数, 与条件矛盾.
故y是无理数.