已知方程X²+PX+Q=0的两根为1997和1998,当X依次取0,1,2…1999时二次三项式Y=X²+PX+Q的对应值依次为Y0,Y1,Y2,…Y1999,求这些值中能被6整除

题目

已知方程X²+PX+Q=0的两根为1997和1998,当X依次取0,1,2…1999时二次三项式Y=X²+PX+Q的对应值依次为Y0,Y1,Y2,…Y1999,求这些值中能被6整除的个数

答案

Y=X^2-(1997+1998)X+1997×1998
=X^2-(6×666-1)X+6×333×1997,
∴Y相当于X^2-X对6同余.
Y'=X(X-1),X与X-1是相邻整数,
∴当X或(X-1)为3的倍数时,Y被6整除,
1999÷3=666……1,
当X=1999时,X-1=1998被3整除,
∴Y被6整除的个数2×666+1=1333个.