椭圆a平方分之x平方加b平方分之y平方等于1（a大于b大于0)的左焦点为F,A(-a,0)B(0,b)是两个顶点,如果到直

题目

椭圆a平方分之x平方加b平方分之y平方等于1（a大于b大于0)的左焦点为F,A(-a,0)B(0,b)是两个顶点,如果到直
线AB的距离等于根号7分之b,那么椭圆的离心率等于多少?

答案

椭圆焦距为c=√(a^2-b^2);左焦点F（-c,0）;
过F向A,B引垂线,垂足为D,则ΔAFD相似于ΔABO:FD/AF=BO/AB;
FD=b/√7,AF=a-c,BO=b,AB=√(a^2+b^2)=√(2a^2-c^2);
故（b/√7）/（a-c）=b/√(2a^2-c^2),约去b,等式左右同乘a,化简得：（1/√7）/(1-e)= 1/√(2-e^2)（e为离心率）平方解得e=1/2.