已知函数f(x)=1/2(x−1)2+㏑x−ax+a. (I)若a=3/2,求函数f(x)的极值; (II)若对任意的x∈(1,3),都有f(x)>0成立,求a取值范围.
题目
答案
(I)函数f(x)的定义域为(0,+∞).
f
′(x)=
x−1+−a,
当
a=时,
f′(x)=x+−=
,
令f
′(x)=0,解得
x=或2.列表:
x | (0,) | | (,2) | 2 | (2,+∞) |
f′(x) | + | 0 | - | 0 | + |
f(x) | 单调递增 | 极大值 | 单调递减 | 极小值 | 等单调递增 |
函数f(x)在
x=处取得极大值
f()=−−ln2,
函数f(x)在x=2处取得极小值f(2)=ln2-
;
(II)
f′(x)=x+−(1+a),当x∈(1,3)时,
(x+)∈(2,),
(i)当1+a≤2,即a≤1时,x∈(1,3),f
′(x)>0,函数f(x)在(1,3)是增函数,
∀x∈(1,3),f(x)>f(1)=0恒成立;
(ii)当
1+a≥,即
a≥时,x∈(1,3)时,f
′(x)<0,函数f(x)在(1,3)是减函数,
∀x∈(1,3),f(x)<f(1)=0恒成立,不合题意,应舍去;
(iii)当2<1+a<
,即
1<a<时,x∈(1,3)时,f
′(x)先取负,再取0,最后取正,函f(x)在(1,3)先递减,再递增,而f(1)=0,∴∀x∈(1,3),f(x)>f(1)=0不能恒成立;
综上,a的取值范围是(-∞,1).
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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