设P是△ABC所在平面外一点，P和A、B、C的距离相等，∠BAC为直角． 求证：平面PCB⊥平面ABC．

题目

设P是△ABC所在平面外一点，P和A、B、C的距离相等，∠BAC为直角．
求证：平面PCB⊥平面ABC．

答案

证明：如答图所示，取BC的中点D，连接PD、AD，
∵D是直角三角形ABC的斜边BC的中点
∴BD=CD=AD，又PA=PB=PC，PD是公共边
∴∠PDA=∠PDB=∠PDC=90°
∴PD⊥BC，PD⊥DA，
∴PD⊥平面ABC
∴又PD⊂平面PCB
∴平面PCB⊥平面ABC．