已知函数f(x)＝lnx+1/x+ax，x∈(0，+∞)（a为实常数）． （1）当a=0时，求函数f（x）的最小值； （2）若函数f（x）在[2，+∞）上是单调函数，求a的取值范围．

题目

已知函数f(x)＝lnx+

1

x

+ax，x∈(0，+∞)（a为实常数）．
（1）当a=0时，求函数f（x）的最小值；
（2）若函数f（x）在[2，+∞）上是单调函数，求a的取值范围．

答案

（1）a=0时，f′(x)＝

x−1

x2

…..（2分）
当0＜x＜1时f'（x）＜0，
当x＞1时f'（x）＞0，…..（5分）
∴f（x）_min=f（1）=1…．（7分）
（2）f′(x)＝

1

x

−

1

x2

+a＝

ax2+x−1

x2

当a≥0时，ax²+x-1在[2，+∞）上恒大于零，即f'（x）＞0，符合要求；…（10分）
当a＜0时，令g（x）=ax²+x-1，g （x）在[2，+∞）上只能恒小于零
故△=1+4a≤0或

1+4a＞0 g(2)≤0 − 1 2a ≤2

，解得：a≤−

1

4

∴a的取值范围是(−∞，−

1

4

]∪[0，+∞)…（14分）

（1）利用导数，确定函数的单调性，从而确定函数f（x）的最小值；
（2）先求导函数，再分别考虑导数大于0与小于0，分类讨论即可．当a≥0时，ax²+x-1在[2，+∞）上恒大于零，即f'（x）＞0，符合要求；当a＜0时，令g（x）=ax²+x-1，g （x）在[2，+∞）上只能恒小于零

本题考点：导数在最大值、最小值问题中的应用．

考点点评：本题以函数为载体，考查导函数，考查函数的单调性，注意分类讨论．