已知两点A(-2,3),B(3,1),过点P(2,-1)的直线L与线段AB有公共点,求直线L的斜率K及倾斜角a的取值范围

题目

已知两点A(-2,3),B(3,1),过点P(2,-1)的直线L与线段AB有公共点,求直线L的斜率K及倾斜角a的取值范围

答案

∵A(-2,3),B(3,1)
又∵过点P(2,-1)的直线L与线段AB有公共点
∴当直线L有斜率时：
①当k＞0时,至少直线L与B点相交；由两点式(x-3)/(2-3)=(y-1)/(y-(-1))得BP直线斜率为2,
而当直线L越靠近直线x=2时,k→+∞ ∴k≥2；
②当k＜0时,至少直线L与A点相交,由两点式(x-(-2))/(2-(-2))=(y-3)/(-1-3)得AP直线斜率为-1,
而当直线L越靠近直线x=2时,k→-∞ ∴k≤-1
当直线L无斜率时,直线L：x2=与AB仍有公共点,但k无斜率；
∴k属于(-∞,-1]∪[2,+∞) ∵k=tanα(0°≤α＜180°)
∴由图像可知：当tanα≤-1时,π/2＜α≤3π/4；
当tanα≥2时,arctan2≤α＜π/2；
∵当α=90°时直线L与AB也有公共点 ∴α=π/2
∴α属于[arctan2,3π/4]