设ABCD是四位数,A ,BCD与ABCD是完全平方数,有多少个这样的四位数?

题目

设ABCD是四位数,A ,BCD与ABCD是完全平方数,有多少个这样的四位数?

答案

易知 a = 1,4,9
(i) a = 1
令三位数 bcd = y^2,四位数 1bcd = x^2 (x ＞ y,且 x 和 y 均为自然数)
10 ≤ y ≤ 31
32 ≤ x ≤ 44
42 ≤ x + y ≤ 75 .(1)
x^2 - y^2 = 1000
(x + y)(x - y) = 1000
若 (x + y) 和 (x - y) 是一奇一偶,则 x 不为自然数 (不合)
故 (x + y) 和 (x - y) 都是偶数 . (2)
符合以上 (1),(2) 二个条件的只有 50 * 20 = 1000
此时 x = 35
符合题意的四位数是 35^2 = 1225
(ii) a = 4,a = 9 亦可仿造上法,但会花较多时间
以下提供另一个想法
由於完全平方数愈大,二个完全平方数之间的"差"愈大
故千位数是 4 或 9 的完全平方数只有少数几个
64^2 = 4096
65^2 = 4225
66^2 = 4356
67^2 = 4489
68^2 = 4624
69^2 = 4761
70^2 = 4900
千位数是 4 的完全平方数,符合题意的有 4225 和 4900
95^2 = 9025
96^2 = 9216
97^2 = 9409
98^2 = 9604
99^2 = 9801
千位数是 9 的完全平方数没有符合题意的四位数