由F1F2是椭圆两焦点,过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于AB两点,若角ABF2是等腰直角三角形,离心率?

题目

由F1F2是椭圆两焦点,过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于AB两点,若角ABF2是等腰直角三角形,离心率?
rt. 在答案的过程中有一点不明白,为什么AF1=F1F2=2C

答案

简而言之,因为三角形AF1F2也是等腰直角三角形,AF1、F1F2为腰
椭圆定义F1F2=2c
设椭圆方程x^2/a^2+y^2/b^2=1
F1(-c,0) F2(c,0)
椭圆定义得AF1+AF2=2a,F1F2=2c
ABF2是等腰直角三角形,AF1=BF1,AF2=BF2,角AF2F1=0.5*90=45度,
三角形AF1F2为等腰直角三角形,所以AF1=F1F2=2c
AF2=AF1*根号（2）=2c*根号（2）
2c+2c*根号（2）=2a
离心率=c/a=1/（1+根号（2））