x,y,z属于R+,求证根号下(x^2+y^2-xy)+根号下(y^2+z^2-yz)大于根号下(x^2+y^2-xz)

题目

x,y,z属于R+,求证根号下(x^2+y^2-xy)+根号下(y^2+z^2-yz)大于根号下(x^2+y^2-xz)

答案

任意做一个三角形ABC,并在三角形内部找到一点O,使得∠AOB=∠BOC=∠COA=120度,不妨设OA=x,OB=y,OC=z,
在三角形AOB中,有余弦定理可得根号下(x^2+y^2-xy）=AB,
同理有根号下(y^2+z^2-yz)=BC,
根号下(x^2+y^2-xz)=CA
又因为在三角形ABC中有AB+BC>CA
所以根号下(x^2+y^2-xy)+根号下(y^2+z^2-yz)大于根号下(x^2+y^2-xz