已知a∈R，函数f(x)＝1−1/x，x＞0(a−1)x+1，x≤0 （1）证明：函数f（x）在（0，+∞）上单调递增； （2）求函数f（x）的零点．

题目

已知a∈R，函数f(x)＝

1− 1 x ，x＞0 (a−1)x+1，x≤0

（1）证明：函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；
（2）求函数f（x）的零点．

答案

（1）在（0，+∞）上任取两个实数x₁，x₂，且

x

1

＜x2，
则f(x1)−f(x2)＝(1−

1

x1

)−(1−

1

x2

)=

1

x2

−

1

x   1

=

x1−x2

x1x2

． 
∵0＜x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0．
∴

x1−x2

x1x2

＜0，
即f（x₁）-f（x₂）＜0．
∴f（x₁）＜f（x₂）．
∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递增． 
（2）（ⅰ）当x＞0时，令f（x）=0，
即1−

1

x

＝0，
解得x=1＞0．
∴x=1是函数f（x）的一个零点．       
（ⅱ）当x≤0时，令f（x）=0，即（a-1）x+1=0．（※）
①当a＞1时，由（※）得x＝

1

1−a

＜0，
∴x＝

1

1−a

是函数f（x）的一个零点；     
②当a=1时，方程（※）无解；
③当a＜1时，由（※）得x＝

1

1−a

＞0，（不合题意，舍去）  
综上，当a＞1时，函数f（x）的零点是1和

1

1−a

；
当a≤1时，函数f（x）的零点是1．

（1）根据汉函数单调性定义进行证明即可．
（2）根据函数零点的定义直接解方程f（x）=0即可得到函数的零点．

本题考点：函数单调性的性质；函数零点的判定定理．

考点点评：本题主要考查函数单调性的证明以及函数零点的计算，根据定义是解决本题的关键，考查学生的运算能力．