设函数fx=2cos^2x+2根号3sinxcosx-1(x属于R),若x属于[0,π/2],求函数fx的值域

题目

设函数fx=2cos^2x+2根号3sinxcosx-1(x属于R),若x属于[0,π/2],求函数fx的值域

答案

fx=2cos^2x+2根号3sinxcosx-1=2cos^2x-1+2根号3sinxcosx
根据倍角公式,
sin2α=2sinαcosα
cos2α=2cos^2（α）-1
fx=cos2x+根号3sin2x
再根据
辅助角公式　　Asinα+Bcosα=√(A²;+B²;)sin[α+arctan(B/A)]
fx=根号（1²+根号3²）sin[2x+arctan(根号3/1)]
=2sin[2x+π/6]
x属于[0,π/2],所以2x属于[0,π]
所以2x+π/6属于[π/6,7π/6]
所以sin[2x+π/6]属于[-1/2,1]
所以fx的值域为[-1,2]