已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>c>0,a^2=b^2+c^2)的左,右焦点分别为f1,f2,若以f2为圆.

题目

已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>c>0,a^2=b^2+c^2)的左,右焦点分别为f1,f2,若以f2为圆.
已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>c>0,a^2=b^2+c^2)的左,右焦点分别为f1,f2,若以f2为圆心,b-c为半径作圆f2,过椭圆上一点P作此圆的切线,切点为T,且PT的绝对值的最小值不小于√3/2乘以（a-c）.求椭圆的离心率的取值范围.

答案

在图中连PF2,TF2,则PT ² = PF2 ² - TF2 ²
∵|PT| ≥ (√3/2)(a - c)
∴PT ² ≥(3/4)(a -c)²
即PF2² -(b -c)² ≥(3/4)(a -c)²
PF2² ≥(3/4)(a -c)² + (b -c)²
又∵椭圆的焦半径PF2 ≥a - c
∴(a -c)² ≥ (3/4)(a -c)² + (b -c)²
(1/4)(a -c)² ≥ (b -c)²
开方得：a- c ≥ 2 (b -c)
即：a + c ≥2b
平方得：a² + c² +2ac ≥4b²
a² + c² +2ac ≥4(a² -c² )
3a² -5c² -2ac ≤0
同除以a² 得：
3- 5e² -2e≤0
5e² +2e -3 ≥0
e ≥ 3/5 或 e ≤ -1（舍）
即 3/5 ≤e