已知函数f（x）=23sinxcosx-（sinx+cosx）（sinx-cosx）． （1）若f（x）=1，求x的值； （2）求函数y=f（x）的单调增区间； （3）若x∈[0，π2]，求函数y=f

题目

已知函数f（x）=2

3

sinxcosx-（sinx+cosx）（sinx-cosx）．
（1）若f（x）=1，求x的值；
（2）求函数y=f（x）的单调增区间；
（3）若x∈[0，

π

2

]，求函数y=f（x）的值域．

答案

（1）∵f（x）=23sinxcosx-（sinx+cosx）（sinx-cosx）=3sin2x+cos2x=2sin（2x+π6）=1，∴sin（2x+π6）=12，∴2x+π6=2kπ+π6或2x+π6=2kπ+5π6（k∈Z），∴x=kπ或x=kπ+π3（k∈Z）．（2）由2kπ-π2≤2x+π6...

（1）利用三角恒等变换可得f（x）=2sin（2x+

π

6

），由f（x）=1，利用正弦函数的性质可求x的值；
（2）利用正弦函数的单调性，由不等式2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

（k∈Z），即可求得函数y=f（x）的单调增区间；
（3）x∈[0，

π

2

]⇒2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，利用正弦函数的图象与性质即可求得该区间上函数y=f（x）的值域．

本题考点：两角和与差的正弦函数；正弦函数的定义域和值域．

考点点评：本题考查两角和与差的正弦函数，着重考查正弦函数的单调性与闭区间上的值域，考查运算求解能力，属于中档题．