F1 F2分别为椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1 (a>b>0)的左右两个焦点,A是椭圆c的顶点,B是直线AF2与椭圆c的

题目

F1 F2分别为椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1 (a>b>0)的左右两个焦点,A是椭圆c的顶点,B是直线AF2与椭圆c的
B是直线AF2与椭圆c的另一个焦点,叫F1AF2=60度
（1）求椭圆离心率
（2）已知三角形AF1B的面积为40根号3,求a,b的值

答案

角F1AF2=60度,则有三角形AF1F2是等边三角形,则有AF1=F1F2
即有a=2c,则有离心率e=c/a=1/2.
(2)可以有多种方法,简单点的是用椭圆的定义,设BF2=m,则BF1=2a-m,在三角形AF1B中,利用角A,由余弦定理得m=3a/5,然后由面积为（1/2）AF1.AB.sinA,得a=10,b=5根号3
法二可以为把AB的直线方程写出后与椭圆方程联立,消去x,利用韦达定理,由面积为(1/2)F1F2.|y1-y2|,算出C^2=25,容易得到a^2=4c^2,b^2=3c^2,所以a=10,b=5根号3