已知函数f(x)=x3-3x,若过点A(1,m)(m≠-2)可作曲线y=f(x)的三条切线,则实数m的取值范围为_.
题目
已知函数f(x)=x3-3x,若过点A(1,m)(m≠-2)可作曲线y=f(x)的三条切线,则实数m的取值范围为______.
答案
设切点为(a,a3-3a),
∵f(x)=x3-3x,
∴f'(x)=3x2-3,
∴切线的斜率k=f′(a)=3a2-3,
由点斜式可得切线方程为y-(a3-3a)=(3a2-3)(x-a),
∵切线过点A(1,m),
∴m-(a3-3a)=(3a2-3)(1-a),即2a3-3a2=-3-m,
∵过点A(1,m)(m≠-2)可作曲线y=f(x)的三条切线,
∴关于a的方程2a3-3a2=-3-m有三个不同的根,
令g(x)=2x3-3x2,
∴g′(x)=6x2-6x=0,解得x=0或x=1,
当x<0时,g′(x)>0,当0<x<1时,g′(x)<0,当x>1时,g′(x)>0,
∴g(x)在(-∞,0)上单调递增,在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,
∴当x=0时,g(x)取得极大值g(0)=0,
当x=1时,g(x)取得极小值g(1)=-1,
关于a的方程2a3-3a2=-3-m有三个不同的根,等价于y=g(x)与y=-3-m的图象有三个不同的交点,
∴-1<-3-m<0,
∴-3<m<2,
∴实数m的取值范围为(-3,2).
故答案为:(-3,-2).
设切点为(a,a3-3a),利用导数的几何意义,求得切线的斜率k=f′(a),利用点斜式写出切线方程,将点A代入切线方程,可得关于a的方程有三个不同的解,利用参变量分离可得2a3-3a2=-3-m,令g(x)=2x3-3x2,利用导数求出g(x)的单调性和极值,则根据y=g(x)与y=-3-m有三个不同的交点,即可得到m的取值范围.
利用导数研究曲线上某点切线方程.
本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程.导数的几何意义即在某点处的导数即该点处切线的斜率,解题时要注意运用切点在曲线上和切点在切线上.运用了转化的数学思想方法,对能力要求较高.属于中档题.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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