已知定义在R上的偶函数f (x)满足f(x+1)=f(1-x).求证f(x)为周期函数

题目

已知定义在R上的偶函数f (x)满足f(x+1)=f(1-x).求证f(x)为周期函数

答案

证明：令t=x-1,则有
f(t+1)=f(1-t)
即f(x)=f(2-x)
又f(x)是偶函数
∴f(2-x)=f(x-2)
∴f(x)=f(x-2)
令a=x+2,则有
f(a)=f(a-2)
即f(x)=f(x+2)
∴f(x)是以2为最小周期的周期函数.