设f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,并且f(x)-g(x)=x2-x,求f(x),g(x).

设f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,并且f(x)-g(x)=x2-x,求f(x),g(x).

题目
设f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,并且f(x)-g(x)=x2-x,求f(x),g(x).
答案
f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x);
g(x)为偶函数,∴g(-x)=g(x).f(x)-g(x)=x2-x
∴f(-x)-g(-x)=x2+x
从而-f(x)-g(x)=x2+x,即f(x)+g(x)=-x2-x,
f(x)-g(x)=x2-x
f(x)+g(x)=-x2-x
f(x)=-x
g(x)=-x2
看条件是奇偶性,所以想到用-x代换x构造新的等式,再用奇偶性转化f(-x),g(-x),从而构造关于f(x)和g(x)的方程组求解.

函数奇偶性的性质.

本题主要考查奇偶性的应用及构造方程的思想.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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