是否存在锐角a、b,使得1.a/2+b=pi/3 2.tana/2tanb=2-根号3同时成立,若存在求a和b的值;若不存在,说明理由.

题目

是否存在锐角a、b,使得1.a/2+b=pi/3 2.tana/2tanb=2-根号3同时成立,若存在求a和b的值;若不存在,说明理由.

答案

有,α=π/6,β=π/4.
tan(α/2+β)=tan(π/3)=√3,
tan(α/2+β)=[tan(α/2)+tanβ]/[1-tan(α/2)tanβ](正切的和角公式）
而tan(α/2)tanβ=2-√3(已知）
得tan(α/2+β)=3-√3
根据一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）可知：
tan(α/2）和tanβ是一元二次方程X^2-(3-√3)x+2-√3=0的二根,解此方程得X1=2-√3,X2=1,
对应tan(α/2)=2-√3,α/2=π/12,α=π/6；
对应tanβ=1,β=π/4.（注意：tan(α/2）≠1,否则变直角）.296545406