已知关于x,y的方程C:x2+y2-2x-4y+m=0. (1)若方程C表示圆,求m的取值范围; (2)若圆C与圆x2+y2-8x-12y+36=0外切,求m的值; (3)若圆C与直线l:x+2y-4
题目
已知关于x,y的方程C:x
2+y
2-2x-4y+m=0.
(1)若方程C表示圆,求m的取值范围;
(2)若圆C与圆x
2+y
2-8x-12y+36=0外切,求m的值;
(3)若圆C与直线l:x+2y-4=0相交于M,N两点,且
|MN|=,求m的值.
答案
(1)把方程C:x
2+y
2-2x-4y+m=0,配方得:(x-1)
2+(y-2)
2=5-m,
若方程C表示圆,则5-m>0,解得m<5;
(2)把圆x
2+y
2-8x-12y+36=0化为标准方程得:(x-4)
2+(y-6)
2=16,得到圆心坐标(4,6),半径为4,
则两圆心间的距离d=
=5,
因为两圆的位置关系是外切,所以d=R+r即4+
=5,解得m=4;
(3)因为圆C圆心C的坐标为(1,2),则圆心C到直线l的距离d=
=
,
所以
()2=(
|MN|)
2+d
2,即5-m=1,解得m=4.
(1)把已知的方程配方后,令等号右边的式子大于0列出关于m的不等式,求出不等式的解集即为方程为圆时m的取值范围;
(2)根据两圆外切时,两圆心之间的距离等于两半径相加,所以利用两点间的距离公式求出两圆心之间的距离d,表示出圆C的半径r,找出已知圆的半径R,令d=R+r列出关于m的方程,求出方程的解即可求出此时m的值;
(3)先求出圆心C到直线l的距离d,然后根据垂径定理及勾股定理,由
|MN|和圆的半径
及求出的距离d列出关于m的方程,求出方程的解即可得到m的值.
圆与圆的位置关系及其判定;二元二次方程表示圆的条件;直线与圆相交的性质.
此题考查学生掌握二元二次方程表示圆的条件,掌握两圆外切时两圆心之间的距离等于两半径相加,灵活运用两点间的距离公式及点到直线的距离公式化简求值,灵活运用垂径定理及勾股定理化简求值,是一道综合题.
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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