已知F1,F2是椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的两个焦点,O为坐标原点,点P(-1,根号2/2)在椭圆上,线段PF2与y轴的交点M满足向量PM+向量F2M=向量0.圆O是以F1F

题目

已知F1,F2是椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的两个焦点,O为坐标原点,点P(-1,根号2/2)在椭圆上,线段PF2与y轴的交点M满足向量PM+向量F2M=向量0.圆O是以F1F2为直径的圆,直线l:y=kx+m与圆O相切,并与椭圆交于不同的两点A,B.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）当向量OA*向量OB=入且满足2/3

答案

(1)
点P(-1,√2 /2)在椭圆上,代入椭圆的方程得到
1/a²+1/2b²=1
PF2与y轴的交点M满足向量PM+向量F2M=向量0,
即M是PF2的中点,且M的横坐标为0,
那么F2的横坐标就是P点横坐标的相反数,
即F2(1,0)
故a²-b²=1,与1/a²+1/2b²=1
连解得到a²=2,b²=1,
即椭圆的标准方程为x²/2+ y²=1
(2)
显然以F1F2为直径的圆为x²+y²=1
而直线y=kx+m与圆O相切,即O点到直线的距离为1,
m²/(1+k²)=1
设y=kx+m与椭圆交于不同的两点A(x1,y1),B(x2,y2)
即x1,x2是方程x²/2+ (kx+m)²=1的解,化简得到(2k²+1)x² +4kmx+2m²-2=0
故x1+x2= -4km/(2k²+1),x1*x2=(2m²-2)/(2k²+1)
显然向量OA*向量OB
=x1*x2+y1*y2
=x1*x2+(kx1+m)(kx2+m)
=(k²+1)x1*x2+mk(x1+x2)+m²
=(k²+1)(2m²-2)/(2k²+1) -4m²k²/(2k²+1) +m² 代入m²=1+k²
=(k²+1)/(2k²+1)
= λ
而2/3≤λ≤3/4,
解得 1/2≤k² ≤1
而显然O点到AB的距离d为圆半径1,
|AB|
=√(x1-x2)² *√(1+k²)
=√[(x1+x2)² -4x1*x2] * √(1+k²)
= 2√2 |k| / (2k²+1)
= 2√2 / (2|k| +1/|k| )
即三角形OAB的面积
S=1/2 * 1*|AB|
= √2 / (2|k| +1/|k| )
而1/2≤k² ≤1,
所以显然在k²=1/2时,
S取最大值1/2,
在k²=1时,
S取最小值√2 /3
于是三角形OAB的面积S的取值范围是
√2 /3 ≤S≤ 1/2