已知曲线C的方程为x平方+y平方+4x-2my+m=0求证：对任意实数m,方程是圆的方程;

题目

已知曲线C的方程为x平方+y平方+4x-2my+m=0求证：对任意实数m,方程是圆的方程;
已知曲线C的方程为x平方+y平方+4x-2my+m=0.
(1)求证：对任意实数m,方程是圆的方程;

答案

曲线C的方程为
x^2+y^2+4x-2my+m=0.
配方：
(x^2+4x+4)+(y^2-2my+m^2)=m^2-m+4
(x+2)^2+(y-m)^2=(m-1/2)^2+15/4
∵(m-1/2)^2+15/4≥15/4>0
∴C表示以(-2,m)为圆心,√[(m-1/2)^2+15/4]为半径的圆
即
对任意实数m,方程C是圆的方程;