若关于x的方程4cosx-cos²x+m-3=0恒有实数解,求取值范围.老师说有两种方法.

题目

若关于x的方程4cosx-cos²x+m-3=0恒有实数解,求取值范围.老师说有两种方法.

答案

4cosx-cos²x+m-3=0
-cos²x+4cosx-4+m+1=0
-(cosx-2)²+m+1=0
m+1=(2-cosx)²
∵ -1≤cosx≤1
∴1≤2-cosx≤3
∴1≤m+1=(2-cosx)²≤9
解得0≤m≤8
所以m 的取值范围为[0,8]

解法2：
4cosx-cos²x+m-3=-cos²x+4cosx+m-3
令f(t)=-t²+4t+m-3 其中 t=cosx （-1≤t≤1）
∵4cosx-cos²x+m-3=0恒有实数解
∴f(t)=-t²+4t+m-3=0在区间t∈[-1,1]内成立,即f(t)的图像与t轴的一个交点在t∈[-1,1]内
从而
f(-1)*f(1)≤0
即 （-1-4+m-3)(-1+4+m-3)≤0
化简,得
(m-8)m≤0
解得0≤m≤8
所以m 的取值范围为[0,8]