设实数a,b,c满足a≤b≤c,且a^2+b^2+c ^2=9.证明abc+1＞3a

题目

设实数a,b,c满足a≤b≤c,且a^2+b^2+c ^2=9.证明abc+1＞3a

答案

当a=0时,显然成立
当a＞0时,∵a≤b≤c,且a^2+b^2+c ^2=9 ∴a^2≤3,bc≥3
∴bc+1/a＞3 两边同时乘以a abc+1＞3a
当a＜0时 ,∵a≤b≤c,且a^2+b^2+c ^2=9 ∴a^2≥3,bc≤3
∴bc-3≤0 a（bc-3）≥0 a（bc-3）+1＞0
即得abc+1＞3a 综上所述
abc+1＞3a 成立