已知直线l:y=x+m与抛物线y2=8x交于A、B两点,(1)若|AB|=10,求m的值;(2)若OA⊥OB,求m的值.
题目
已知直线l:y=x+m与抛物线y2=8x交于A、B两点,
(1)若|AB|=10,求m的值;
(2)若OA⊥OB,求m的值.
答案
设A(x
1,y
1)、B(x
2,y
2)
(1)
⇒x
2+(2m-8)x+m
2=0------------------------------(1分)
⇒ | △=(2m-8)2-4m2>0 | x1+x2=8-2m | x1x2=m2 |
| |
-----------------------------------------------(3分)
|AB|=|x1-x2|==10,
m=----(5分)
∵m<2,∴
m=---------------------------------------------------------(6分)
(2)∵OA⊥OB,∴x
1x
2+y
1y
2=0------------------------------------(7分)
x
1x
2+(x
1+m)(x
2+m)=0,2x
1x
2+m(x
1+x
2)+m
2=0-----------------------------------------(9分)
2m
2+m(8-2m)+m
2=0,m
2+8m=0,m=0orm=-8,---------------------------------(11分)
经检验m=-8------------------------------------------------------------(12分)
(1)把直线方程与抛物线方程联立消去y,根据韦达定理表示出x1+x2和x1x2,利用弦长公式可求;
(2)由于OA⊥OB,从而有x1x2+y1y2=0,利用韦达定理可得方程,从而求出m的值.
直线与圆锥曲线的关系.
本题主要考查直线与抛物线的位置关系,考查韦达定理得运用,考查等价转化问题的能力.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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